已知函数f是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f=

题文

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=-x2-2x-2．（1）求出函数f（x）（x∈R）的解析式；（2）写出函数f（x）（x∈R）的增区间；（3）若函数g（x）=f（x）-2ax（x∈[1，2]），求函数的g（x）最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）1°因为函数是奇函数，所以x=0时，f（0）=02°设x＞0，则-x＜0，根据当x＜0时，f（x）=-x2-2x-2，得f（-x）=-x2+2x-2∵f（x）为定义在R上的奇函数∴f（x）=-f（-x）=x2-2x+2综上：f(x)=-x2-2x-2   x＜00x=0x2-2x+2        x＞0（2）函数f（x）（x∈R）的增区间为：（-∞，-1]，[1，+∞）（3）由于函数g（x）=f（x）-2ax=x2-2（1+a）x+2（x∈[1，2]）的图象开口向上，对称轴为x=1+a，则①当a+1＜1即a＜0时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递增，故ymin=g（1）=1-2a；②当1≤a+1≤2即0≤a≤1时，函数g（x）在区间[1，a+1]上单调递减，在区间（a+1，2]上单调递增，故ymin=g（a+1）=2-（a+1）2；①当a+1＞2即a＞1时，函数在区间[1，2]上单调递减，故ymin=g（2）=2-4a，综合可得，a＜0时，ymin=1-2a0≤a≤1时，ymin=2-（a+1）2a＞1时，ymin=2-4a．

解析

-x2-2x-2   x＜00x=0x2-2x+2        x＞0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。