已知f=2x2+ax，且f=3，试求a的值，并证明f在[22，+∞）上单调递增．设关于x的方程f=x+b的两根为x1，x2，

题文

已知f（x）=2x2+ax，且f（1）=3，（1）试求a的值，并证明f（x）在[22，+∞）上单调递增．（2）设关于x的方程f（x）=x+b的两根为x1，x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意的b∈[2，13]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（1）=3，∴a=1，∴f（x）=2x2+1x，设22≤x1＜x2，∴f（x2）-f（x1）=2x2+1x2-（2x1+1x1）=2（x2-x1）+x1-x2x1x2=（x2-x1）（2-1x1x2），∵x2＞x1≥22，∴x1x2≥x12≥12，∴0＜1x1x2＜2，∴2-1x1x2＞0又x2-x1＞0，∴f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在[22，+∞）上单调递增．（2）∵f（x）=x+b，∴x2-bx+1=0，∴|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=b2-4又2≤b≤13，∴0≤|x1-x2|≤3，故只须当t∈[-1，1]，使m2+mt+1≥3恒成立，记g（t）=tm+m2-2，只须：g(-1)≥0g(1)≥0，∴m2-m-2≥0m2+m-2≥0，∴m≥2，m≤-1m≥1，m≤-2，∴m≥2或m≤-2，故m的取值集合是{m|m≥2或m≤-2}．

解析

2x2+1x

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=2x2+ax，且f（1）=.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。