设函数f=x3+4x用定义证明f在R上为奇函数;判断f在上的单调性,并用定义证明.

更新时间:2023-02-04 23:01:58 阅读: 评论:0

题文

设函数f(x)=x3+4x(1)用定义证明f(x)在R上为奇函数;(2)判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并用定义证明. 题型:未知 难度:其他题型

答案

(1)由题设知f(x)的定义域为R,关于原点对称.(2分)因为f(-x)=(-x)3+4(-x)=-x3-4x=-f(x),所以f(x)是奇函数(6分)(2)f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数(7分)证明:任意取x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2f(x1)-f(x2)=(x13-x23)+4(x1-x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+4)=(x1-x2)[(x1+x22)2+3x224+4](11分)因为x1<x2所以x1-x2<0因为(x1+x22)2+3x224+4>0显然成立所以f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)所以f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数.(14分)

解析

x22

考点

据考高分专家说,试题“设函数f(x)=x3+4x(1)用定义证.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义:

1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间  3、最值的定义:最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法:

(1)定义法:其步骤是:①任取x1,x2∈D,且x1<x2; ②作差f(x1)-f(x2)或作商 ,并变形;③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较 与1的大小; ④根据定义作出结论。(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

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