已知函数f=13x3

题文

已知函数f（x）=13x3-ax2+b在x=-2处有极值．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-3，3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f′（x）=x2-2ax由题意知：f′（-2）=4+4a=0，得a=-1，∴f′（x）=x2+2x，令f′（x）＞0，得x＜-2或x＞0，令f′（x）＜0，得-2＜x＜0，∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-2）和（0，+∞），单调递减区间是（-2，0）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=13x3+x2+b，f（-2）=43+b为函数f（x）极大值，f（0）=b为极小值．∵函数f（x）在区间[-3，3]上有且仅有一个零点，∴f(-3)≤0f(0)＞0或f(3)≥0f(-2)＜0或f(-3)＞0f(3)＜0或f(-2)=0f(3)＜0或f(-3)＞0f(0)=0，即18+b≥043+b＜0，∴-18≤b＜-43，即b的取值范围是[-18，-43)．

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=13x3-ax2+b在.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。