定义在R上的单调增函数f,对任意x,y∈R都有f=f+f.判断函数f的奇偶性;若f+f(3x

更新时间:2023-02-04 23:00:28 阅读: 评论:0

题文

定义在R上的单调增函数f(x),对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)若f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围. 题型:未知 难度:其他题型

答案

(1)证明:令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.令y=-x,代入f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,所以f(x)是奇函数.--------------(4分)(2)f(x)在R上是单调增函数,又由(1)知f(x)是奇函数.∵f(k•3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),∴k•3x<-3x+9x+2,∴32x-(1+k)•3x+2>0对任意x∈R成立.令t=3x>0,问题等价于t2-(1+k)t+2>0对任意t>0恒成立.--------------------(6分)令g(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴为x=1+k2当1+k2<0,即k<-1时,f(0)>2,符合题意;当1+k2≥0,即k≥-1时,则△=(1+k)2-4×2<0,∴-1≤k<-1+22综上,k<-1+22--------------------------(12分)

解析

1+k2

考点

据考高分专家说,试题“定义在R上的单调增函数f(x),对任意x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义:

1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间  3、最值的定义:最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法:

(1)定义法:其步骤是:①任取x1,x2∈D,且x1<x2; ②作差f(x1)-f(x2)或作商 ,并变形;③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较 与1的大小; ④根据定义作出结论。(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

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