设f(x)=alog22x+blog4x2+1，．当x＞0时，F=f，且F为R上的奇函数．若f(12)=0，且f的

题文

设f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．（Ⅰ）若f(12)=0，且f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，g(x)=f(x)+k-1log2x在[2，4]上是单调函数，求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）=alog22x+blog2x+1由f(12)=0得a-b+1=0，∴f（x）=alog22x+（a+1）log2x+1若a=0则f（x）=log2x+1无最小值．∴a≠0．欲使f（x）取最小值为0，只能使a＞04a-(a+1)24a=0，知a=1，b=2．∴f（x）=log22x+2log2x+设x＜0则-x＞0，∴F（x）=f（-x）=log22（-x）+2log2（-x）+1又F（-x）=-F（x），∴F（x）=-log22（-x）-2log2（-x）-1又F（0）=0∴F(-x)=log22x+2log2x+1  (x＞0)0                        (x=0)-log22(-x)-2log2(-x)-1  (x＜0)（2）g(x)=log22x+2log2x+1+k-1log2x=log2x+klog2x+2．x∈[2，4]．得log2x=t．则y=t+kt+2，t∈[1，2]．∴当k≤0，或k≤1或k≥2时，y为单调函数．综上，k≤1或k≥4．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设f(x)=alog22x+blog4x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。