已知函数f(x)=4x4x+2试求f(1n)+f(n

题文

已知函数f(x)=4x4x+2（1）试求f(1n)+f(n-1n)(n∈N*)的值；（2）若数列{an}满足an=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f（1）（n∈N*），求数列{an}的通项公式；（3）若数列{bn}满足bn=2n+1•an，Sn是数列{bn}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knSn＞4bn对于一切的n∈N*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分16分）（1）∵f（x）+f（1-x）=4x4x+2+41-x41-x+2=4x4x+2+44+2•4x=1∴f（1n）+f（n-1n）=1．（5分）（2）∵an=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f（1）（n∈N*），①∴an=f(1)+f(n-1n)+f(n-2n)+…+f（1n）+f（0）（n∈N*），②由（1），知 f（1n）+f（n-1n）=1，∴①+②，得2an=n+1，∴an=n+12．（10分）（3）∵bn=2n+1•an，∴bn=(n+1)•2n，∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①∴2Sn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+（n+1）•2n+1，②①-②得-Sn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1，即Sn=n•2n+1，（12分）要使得不等式knSn＞4bn恒成立，即kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立，n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4．设g（n）=kn2-2n-2，当k＞4时，由于对称轴直线n=1k＜1，且 g（1）=k-2-2＞0，而函数f（x）在[1，+∞） 是增函数，∴不等式knSn＞bn恒成立，即当k＞4时，不等式knSn＞bn对于一切的n∈N*恒成立 …（16分）

解析

4x4x+2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=4x4x+2（1）试求.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。