已知a＞0，≠1，f=aa2

题文

已知a＞0，≠1，f（logax）=aa2-1（x-1x）．（1）求函数f（x）的表达式，并写出函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的单调性，并给出证明；（3）若不等式f（x2）+f（kx+1）≤0对实数x∈（1，2）恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令logax=t则x=at所以f（t）=aa2-1（at-a-t）f（x）=aa2-1（ax-a-x），定义域为R （2）f′（x）=aa2-1lna（ax+a-x）当a＞1时，aa2-1＞0，lna＞0，f′（x）＞0，f（x）在R上单增当0＜a＜1时，aa2-1＜0，lna＜0f′（x）＞0，f（x）在R上单增总之f（x）在R单增 （3）∵f（x）=aa2-1(ax-a-x)∴f（-x）=-f（x）∴f（x2）+f（kx+1）≤0即为f（x2）≤f（-kx-1）∵f（x）单增∴不等式f（x2）+f（kx+1）≤0对实数x∈（1，2）恒成立即为x2≤-kx-1对实数x∈（1，2）恒成立即-k≥x+1x对实数x∈（1，2）恒成立∵x+1x∈(2，52)∴-k≥52∴k≤-52

解析

aa2-1

考点

据考高分专家说，试题“已知a＞0，≠1，f（logax）=aa.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。