已知函数f(x)=lga

题文

已知函数f(x)=lga-x1+x，（Ⅰ）若f（x）为奇函数，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在（-1，5]内有意义，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）在（m，n）上的值域为（-1，+∞），求（m，n）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f（x）为奇函数∴f（x）+f（-x）=0对于定义域内的任意x都成立∴lga-x1-x+lga+x1-x=0∴(a-x)(a+x)1-x2=1∴a=1…（4分）（Ⅱ）∵若f（x）在（-1，5]内恒有意义，则在（-1，5]上a-x1+x＞0∵x+1＞0∴a-x＞0∴a＞x在（-1，5]上恒成立∴a＞5…（10分）（Ⅲ）∵x∈（-1，1）时，t=1-x1+x=-1+2x+1是减函数y=lgt在定义域内是增函数（13分）∴y=f(x)=lg1-x1+x在（-1，1）上是减函数∵f（x）在（m，n）上的值域为（-1，+∞），且函数单调递减∴（m，n）⊆（-1，1）∴函数f（x）在x=n处取得函数的最小值-1，∴f(n)=lg1-n1+n=-1，f（m）没有意义∴1-n1+n=110∴n=911，m=-1∴（m，n）=(-1，911)…（16分）

解析

a-x1-x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=lga-x1+x，（Ⅰ.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。