函数f=11+a•2bx的定义域为R，且limn→∞f=0求证：a＞0，b＜0；若f=45，且f在[0，1]上

题文

函数f（x）=11+a•2bx的定义域为R，且limn→∞f（-n）=0（n∈N*）（Ⅰ）求证：a＞0，b＜0；（Ⅱ）若f（1）=45，且f（x）在[0，1]上的最小值为12，试求f（x）的解析式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下记Sn=f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N），试比较Sn与n+12n+1+12(n∈N*)的大小并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（Ⅰ）∵f（x）定义域为R，∴1+a•2bx≠0，即a≠-2-bx而x∈R，∴a≥0．若a=0，f（x）=1与limn→∞f（-n）=0矛盾，∴a＞0，∴limn→∞f(-n)=limn→∞11+a•2-bx=1(0＜2-b＜1)11+a(2-b=1)0(2-b＞1)∴2-b＞1即b＜0，故a＞0，b＜0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]上为增函数，∴f（0）=12，即11+a=12，∴a=1，f（1）=11+a•2b=45，∴2b=14，∴b=-2，∴f（x）=11+2-2x=4x1+4x=1-11+4x．（Ⅲ）当k∈N*时，Sn＜n+12n+1+12，证明如下：f（k）=1-11-4k＜1，∴f（1）+f（2）+f（3）++f（n）＜n而n+12n+1+12＞n，∴k∈N*时，Sn＜n+12n+1+12

解析

limn→∞

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）=11+a•2bx的定义域为.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。