已知函数f=loga1

题文

已知函数f（x）=loga1-mxx-1是奇函数．（a＞0，且a≠1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明．（3）当a＞1，x∈（r，a-2）时，f（x）的值域是（1，+∞），求a与r的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（x）=loga1-mxx-1是奇函数得f（-x）=-f（x）即loga 1-mxx-1+loga mx+1-x-1=0log a 1-m2x21-x2=0即m=-1（m=1舍去）（2）由（1）得，f（x）=loga x+1x-1（a＞0，a≠1），任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，令t（x）=x+1x-1，则t（x1）-t（x2）=x1+1x1-1-x2+1x2-1=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)∵x1＞1，x2＞1，x1＜x2∴x1-1＞0，x2-1＞0，x2-x1＞0∴t（x1）＞t（x2）∴当a＞1时，loga x1+1x1-1＞logax2+1x2-1，f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．（3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）即loga1+a-2a-2-1=logaa-1a-3=1，即a-1a-3=a，…（16分）所以a=2+3且r=1 …（18分）2°当r＜1时，则（r，a-2）⊈（-∞，-1），所以0＜a＜1，这与a＞1不合，所以a=2+3且r=1．

解析

1-mxx-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=loga1-mxx-1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。