函数y=f对任意实数x、y满足f+f=f,且当x>0时,f<0.求证:y=f是奇函数;判断y=f的单调

更新时间:2023-02-04 22:59:44 阅读: 评论:0

题文

函数y=f(x)对任意实数x、y满足f(x)+f(y-x)=f(y),且当x>0时,f(x)<0.(1)求证:y=f(x)是奇函数;(2)判断y=f(x)的单调性,并证明;(3)对任意t∈[1,2],f(tx2-2x)<f(t+2)恒成立,求x的范围. 题型:未知 难度:其他题型

答案

(1)证明:令x=y=0,代入f(x)+f(y-x)=f(y),那么f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0 再令y=0,那么f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),所以函数y=f(x)是奇函数;(2)函数y=f(x)在整个R上是减函数证明:令y>x,则y-x>0,∵f(x)+f(y-x)=f(y),∴f(y)-f(x)=f(y-x),因为当x>0,f(x)<0,而y-x>0,所以f(y-x)<0 所以f(y)-f(x)<0,即y>x,f(y)<f(x),所以函数y=f(x)在整个R上是减函数; (3)对任意t∈[1,2],f(tx2-2x)<f(t+2)恒成立∴对任意t∈[1,2],tx2-2x>t+2恒成立∴对任意t∈[1,2],(x2-1)t-2x-2>0恒成立,令函数h(t)=(x2-1)t-2x-2分三种情况:i、当x2-1=0时,x=1或-1,代入发现不符合(x2-1)t-2x-2>0 ii、当x2-1>0,即x>1或x<-1时,函数h(t)=(x2-1)t-2x-2是增函数,所以最小值为h(1)=x2-2x-3=(x+1)(x-3)>0,所以x>3或x<-1所以最后符合的解是:x>3或x<-1 iii、当x2-1<0,即-1<x<1时,函数h(t)=(x2-1)t-2x-2是减函数,所以最小值是h(2)=2x2-2x-4=2(x+1)(x-2)>0,所以x>2或x<-1,与-1<x<1矛盾综上知x的范围是:x>3或x<-1

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说,试题“函数y=f(x)对任意实数x、y满足f(.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义:

1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间  3、最值的定义:最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法:

(1)定义法:其步骤是:①任取x1,x2∈D,且x1<x2; ②作差f(x1)-f(x2)或作商 ,并变形;③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较 与1的大小; ④根据定义作出结论。(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

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