已知定义在R+上的函数f满足下列条件：①对定义域内任意x，y，恒有f=f+f；②当x＞1时f＜0；③f=

题文

已知定义在R+上的函数f（x）满足下列条件：①对定义域内任意x，y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时f（x）＜0；③f（2）=-1（1）求f（8）的值；（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；（3）解不等式：f（2x+2）-f（2x-4）＜-3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=2，可得f（4）=f（2）+f（2）=-2，令x=2，y=4可得，f（8）=f（2）+f（4）=-3，则f（8）=-3；（2）设0＜x1＜x2＜+∞，则x2x1＞1，则f（x2x1）＜0，f（x2）-f（x1）=f（x2x1•x1）-f（x1）=f（x2x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），则f（x）在（0，+∞）为减函数，（3）f（2x+2）-f（2x-4）＜-3，即f（2x+2）-f（2x-4）＜f（8），f（2x+2）＜f（2x-4）+f（8）=f[8•（2x-4）]，又由f（x）在（0，+∞）为减函数，∴2x+2＞8•(2x-4)(2x-4)＞0解得：2＜x＜3故2＜x＜3．

解析

x2x1

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R+上的函数f（x）满足下列条.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。