已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在上的奇函数，且f(12)=25．求函数f的解析式；用单调性的定义证明f在（

题文

已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t2-1）+f（t）＜0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，∴由f（0）=0，得b=0．又∵f(12)=25，∴12a1+14=25，解之得a=1；因此函数f（x）的解析式为：f(x)=x1+x2．（2）设-1＜x1＜x2＜1，则 f(x1)-f(x2)=x11+x21-x21+x22=(x1-x2)(1-x1x2)(1+x21)(1+x22)∵-1＜x1＜x2＜1，∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）所以f（x）在（-1，1）上是增函数．（3）∵f（x）是奇函数，∴f（t2-1）+f（t）＜0即为f（t2-1）＜-f（t）=f（-t），又∵f（x）在（-1，1）上是增函数，∴f（t2-1）＜f（-t）即为t2-1＜-t，解之得：-1+52＜t＜-1+52…①又∵-1＜t2-1＜1-1＜t＜1，解之得-1＜t＜1且t≠0…②对照①②，可得t的范围是：(-1，0)∪(0，-1+52)．所以，原不等式的解集为(-1，0)∪(0，-1+52)．

解析

ax+b1+x2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。