设函数f对任意实数x，y∈R，都有f=f+f，且x＞0时，f＜0，判断f的奇偶性；判断f的单调性；（3

题文

设函数f（x）对任意实数x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，（1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）的单调性；（3）解不等式12f(bx2)-f(x)＞12f(b2x)-f(b)，（b2≠2）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=0，由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0，所以f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数；（2）任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x2-x1）=f[x2+（-x1）]=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1），由x＞0时，f（x）＜0，且x2-x1＞0，所以f（x2-x1）＜0，即f（x2）-f（x1）＜0，所以f（x2）＜f（x1），故f（x）为减函数；（3）不等式12f(bx2)-f(x)＞12f(b2x)-f(b)可变为12f（bx2）-12f（b2x）＞f（x）-f（b）=f（x-b），⇒f（bx2-b2x）＞f（2x-2b），由（2）知f（x）单调递减，所以bx2-b2x＜2x-2b，即bx2-（b2+2）x+2b＜0，当b=0时，原不等式解集（0，+∞）；当b＜-2时，原不等式解集{x/x＞2b或x＜b}；当-2＜b＜0时，原不等式解集{x/x＜2b或x＞b}；当0＜b＜2时，原不等式解集{x/b＜x＜2b}；当b＞2时，原不等式解集{x/2b＜x＜b}；

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）对任意实数x，y∈R，都有.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。