函数f(x)=12x2

题文

函数f(x)=12x2- (a+b)x2+1+92，g（x）=ax2-b（a、b、x∈R），集合A={x|12x2-3x2+1+92≤0}，（1）求集合A；（2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；（3）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求a的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x2+1=t≥1，则x2=t2-1，f（x）≤0，即12x2-3x2+1+92≤0，即t2-6t+8≤0，（t-2）（t-4）≤0∴2≤t≤4，所以2≤x2+1≤4，所以x∈[-15，-3]∪[3，15]，即A=[-15，-3]∪[3，15]；（2）f（x）≥0恒成立也就是12x2- ax2+1+92≥0恒成立，即12x2+92≥  ax2+1，∵x2+1≥1，∴a≤12x2+92x2+1，令x2+1=t，则t∈[2，4]，则y=t2+82t=12(t+8t)，∴a≤y恒成立，∴a≤ymin，由导数可知，当t=22时，ymin=12×28=22，∴a≤22（3）对任意x∈A，f（x）≥0恒成立，∴a+b≤12x2+92x2+1=12x2+9x2+1，由（2）可知a+b≤22       ①，由g（x）=ax2-b≤0有解，ax2-b≤0有解，即a≤(bx2)max，∵b＞0，∴a≤(bx2)max=b3，∴3a-b≤0        ②①+②可得a≤22所以a的最大值为22，此时b=322．

解析

x2+1

考点

据考高分专家说，试题“函数f(x)=12x2-(a+b)x2+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。