给定函数①y=x12；②y=log12；③y=2x

题文

给定函数①y=x12；②y=log12（x+1）；③y=2x-1；④y=x+1x；其中在区间（0，1）上单调递减的函数的序号是（ ）A．①②B．②③C．③④D．②④ 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为幂函数y=xα（α＞0）在第一象限为增函数，所以y=x12在区间（0，1）上单调递增；函数y=log12（x+1）的定义域为（-1，+∞），且内层函数t=x+1为增函数，外层函数y=log12t为减函数，所以函数y=log12（x+1）在区间（0，1）上是单调递减的函数；函数y=2x-1=12•2x是实数集上的增函数；对于函数y=x+1x，取x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=(x1+1x1)-(x2+1x2)=(x1-x2)-x1-x2x1x2=(x1-x2)(1-1x1x2)=(x1-x2)x1x2-1x1x2．当x1，x2∈（0，1），且x1＜x2时，x1＜x2，x1x2-1＜0，所以(x1-x2)x1x2-1x1x2＞0，所以f（x1）＞f（x2）．所以y=x+1x在区间（0，1）上是单调递减的函数．所以在区间（0，1）上单调递减的函数是②④．故选D．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“给定函数①y=x12；②y=log12（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。