已知定义在R上的函数f满足f=1，f=1

题文

已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，f（1-x）=1-f（x），2f（x）=f（4x），且当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），则f（133）等于（ ）A．14B．18C．116D．132 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f（1）=1，f（1-x）=1-f（x）令x=12得f（12）+f（12）=1即f（12）=12∵2f（x）=f（4x）∴f（x）=12f（4x）在f（x）=12f（4x）中，令x=14可得f（14）=12f(1)=12在f（1-x）+f（x）=1中，令x=14可得f（14）+f（34）=1即f（34）=12同理可求f（18）=12f(12)=14，f（78）=1-f（18）=34f(116)=12f(14)=14，f（1516）=1-f（116）=34f(132)=12f(18)=18，f（3132）=1-f（132）=78f(164)=12f(116)=18，f（6364）=1-18=78∵当0≤x1≤x2≤1时，f（x1）≤f（x2），∴18=f(164)≤f(133)≤132=18∴f(133)=18故选B

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。