已知y=f的定义域为R，且恒有等式2f+f+2x=0对任意的实数x成立．试求f的解析式；讨论f在R上的单调性，并用单

题文

已知y=f（x）的定义域为R，且恒有等式2f（x）+f（-x）+2x=0对任意的实数x成立．（Ⅰ）试求f（x）的解析式；（Ⅱ）讨论f（x）在R上的单调性，并用单调性定义予以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵2f（x）+f（-x）+2x=0       ①对任意的实数x成立；∴2f（-x）+f（x）+2-x=0     ②；①×2-②得：3f（x）+2×2x-2-x=0⇒f（x）=13（2-x-2×2x）；（Ⅱ）函数在实数集上递减．证明：任取a＜b，则f（a）-f（b）=13（2-a-2×2a）-13（2-b-2×2b）=13[（2-a-2-b）-2×（2a-2b）]=13[（12a-12b）-2×（2a-2b）]=13（2b-2a）（12a+b+2）；∵a＜b；∴2b-2a＞0，2a+b＞0；∴（2b-2a）（12a+b+2）＞0；∴f（a）-f（b）＞0⇒f（a）＞f（b）．∴函数f（x）在R上递减．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知y=f（x）的定义域为R，且恒有等式.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。