已知f=2x

题文

已知f（x）=2x-ax2+2(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数．（1）求实数a的值所组成的集合A；（2）设关于x的方程f（x）=1x的两个根为x1、x2，若对任意x∈A及t∈[-1，1]，不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f′（x）=4+2ax-2x2(x2+2)2=-2(x2-ax-2)(x2+2)2，∵f（x）在区间[-1，1]上是增函数，∴f′（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，即x2-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．设φ（x）=x2-ax-2，则问题等价于φ(1)=1-a-2≤0φ(-1)=1+a-2≤0⇔-1≤a≤1，∴A=[-1，1]．（2）由2x-ax2+2=1x，得x2-ax-2=0，△=a2+8＞0，∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根，∴x1+x2=a，x1x2=-2，从而|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2 =a2+8，∵-1≤a≤1，∴|x1-x2|=a2+8≤3．∴不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立⇔m2+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立⇔m2+tm-2≥0≥0对任意t∈[-1，1]恒成立．设g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），则问题又等价于g(-1)=m2-m-2≥0g(1)=m2+m-2≥0⇔m≤-2，∴m≥2，即m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

解析

4+2ax-2x2(x2+2)2

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=2x-ax2+2(x∈R).....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。