某工厂为某工地生产容器为32π(米3)的无盖圆柱形容器，容器的底面半径为r，而且制造底面的材料每平方米为30元，制造容器的材料每平方米为20元，设计时材料

题文

某工厂为某工地生产容器为32π(米3)的无盖圆柱形容器，容器的底面半径为r（米），而且制造底面的材料每平方米为30元，制造容器的材料每平方米为20元，设计时材料的厚度可忽略不计．（1）制造容器的成本y（元）表示成r的函数；（2）工地要求容器的底面半径r∈[2，3]（米），问如何设计容器的尺寸，使其成本最低？，最低成本是多少？（精确到元） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）容器壁的高为h米，容器的体积为V米3．由V=πr2h，得πr2h=32π．∴h=32r2∴y=30•πrr2+20•2πrh=30πr2+60πr=30π(r2+2r)(r＞0)（2）由y=30π(r2+2r)=30π(r2+1r+1r)≥30π•33r2•1r•1r=90π当且仅当r2=1r．即r=1时，取等号．由1∉[2，3]；下面研究函数Q(x)=r2+2r在r∉[2，3]上的单调性．设2≤r1＜r2≤3，Q(r1)-Q(r2)=(r12+2r1)-(r22+2r2)=(r21-r22)+2(1r1-1r2)=(r1-r2)•r1+r2-2r1r2，∵2≤r1＜r2≤3，∴(r1-r2)＜0，r1+r2-2r1r2＞0，∴Q（r1）-Q（r2）＜0，即Q（r）在[2，3]上为增函数．当r=2时，y取得最小值150π≈465（元）．∴当r=2米，h=38米时，造价最低为465元．

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“某工厂为某工地生产容器为32π(米3)的.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。