设函数fn=sinnθ+ncosnθ，0≤θ≤π4，其中n为正整数．判断函数f1、f3的单调性，并就f1的情形证明你的结论

题文

设函数fn（θ）=sinnθ+（-1）ncosnθ，0≤θ≤π4，其中n为正整数．（1）判断函数f1（θ）、f3（θ）的单调性，并就f1（θ）的情形证明你的结论；（2）证明：2f6（θ）-f4（θ）=（cos4θ-sin4θ）（cos2θ-sin2θ）；（3）对于任意给定的正奇数n，求函数fn（θ）的最大值和最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f1（θ）、f3（θ）在0≤θ≤π4，上均为单调递增的函数．对于函数f1（θ）=sinθ-cosθ，设 θ1＜θ2，θ1、θ2∈[0，π4]，则f1（θ1）-f1（θ2）=（sinθ1-sinθ2）+（cosθ2-cosθ1），∵sinθ1＜sinθ2，cosθ2＜cosθ1∴f1（θ1）＜f1（θ2）函数f1（θ）在[0，π4]上单调递增．（2）∵原式左边=2（sin6θ+cos6θ）-（sin4θ+cos4θ）=2（sin2θ+cos2θ）（sin4θ-sin2θcos2θ+cos4θ）-（sin4θ+cos4θ）=1-sin22θ=cos22θ．又∵原式右边=（cos2θ-sin2θ）2=cos22θ∴2f6（θ）-f4（θ）=（cos4θ-sin4θ）（cos2θ-sin2θ）．（3）当n=1时，函数f1（θ）在[0，π4]上单调递增，∴f1（θ）的最大值为f1（π4）=0，最小值为f1（0）=-1．当n=3时，函数f3（θ）在[0，π4]上为单调递增．∴f3（θ）的最大值为f3（π4）=0，最小值为f3（0）=-1．下面讨论正奇数n≥5的情形：对任意θ1、θ2∈[0，π4]，且θ1＜θ2∵fn（θ1）-fn（θ2）=（sinnθ1-sinnθ2）+（cosnθ2-cosnθ1），以及 0≤sinθ1＜sinθ2＜1  0≤cosθ2＜cosθ1＜1，∴sinnθ1＜sinnθ2 cosnθ2＜cosnθ1，从而fn（θ1）＜fn（θ2）．∴fn（θ）在[0，π4]上为单调递增，则fn（θ）的最大值为fn（π4）=0，最小值为fn（0）=-1．综上所述，当n为奇数时，函数fn（θ）的最大值为0，最小值为-1．

解析

π4

考点

据考高分专家说，试题“设函数fn（θ）=sinnθ+（-1）n.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。