已知函数y=f是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f=f+f成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有f(x1)

题文

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有f(x1)-f(x2)x1-x2＞0．给出下列命题：①f（3）=0；②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为______（把所有正确命题的序号都填上） 题型：未知 难度：其他题型

答案

①：对于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=-3，则f（-3+6）=f（-3）+f （3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0．②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（-x），而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），所以：f（-6-x）=f（-6+x），所以直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴．③：当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有f(x1)-f(x2)x1-x2＞0所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[-3，0]上为减函数而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数．④：f（3）=0，f（x）的周期为6，所以：f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．故答案为：①②④．

解析

f(x1)-f(x2)x1-x2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。