已知函数f(x)=ln(1+x)

题文

（1）已知函数f(x)=ln(1+x)-axx+1（其中a为常数），求函数f（x）的单调区间；（2）求证：不等式1ln(x+1)-1x＜12在0＜x＜1上恒成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f(x)=ln(1+x)-a(1-1x+1)知定义域：{x|x＞-1}对f（x）求导得：f′(x)=11+x-a(x+1)2=x+1-a(x+1)2①在a≤0时，有x+1-a＞0恒成立．故f（x）＞0故此时f（x）在（-1，+∞）上单调递增②在a＞0时，由f'（x）=0知x=a-1x（-1，a-1）a-1（a-1，+∞）f'（x）-0+f（x）↓极小值↑故在a＞0时，f（x）在（-1，a-1）上为减函数，在[a-1，+∞）上为增函数．因此函数在a≤0时，在（-1，+∞）上单调递增；在a＞0时，f（x）在（-1，a-1）上为减函数，在[a-1，+∞）上为增函数．…（5分）（2）要证明：1ln(1+x)-1x＜12在（0，1）上成立．只需证：x2ln(1+x)+ln(1+x)-x＞0，在（0，1）上恒成立设g(x)=x2ln(1+x)+ln(1+x)-x则g′(x)=12(ln(1+x)+x.11+x)+1x+1-1=12(ln(1+x)-x1+x)由（1）可知a=1，f（x）在x=0时取到最小值有ln(1+x)＞x1+x，在x＞0时恒成立．从而可知g'（x）＞0，故g（x）在（0，1）上为增函数∴g（x）＞g（0）=0即：x2ln(1+x)+ln(1+x)-x＞0恒成立，从而原不等式得证．…（12分）

解析

1x+1

考点

据考高分专家说，试题“（1）已知函数f(x)=ln(1+x)-.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。