设实数a≠0，函数f=a

题文

设实数a≠0，函数f（x）=a（x2+1）-（2x+1a）有最小值-1．（1）求a的值；（2）设数列{an}的前n项和Sn=f（n），令bn=a2+a4+…+a2nn，证明：数列{bn}是等差数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=a（x-1a）2+a-2a，由已知知f（1a）=a-2a=-1，且a＞0，解得a=1，a=-2（舍去）．（2）证明：由（1）得f（x）=x2-2x，∴Sn=n2-2n，a1=S1=-1．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-2n-（n-1）2+2（n-1）=2n-3，a1满足上式即an=2n-3．∵an+1-an=2（n+1）-3-2n+3=2，∴数列{an}是首项为-1，公差为2的等差数列．∴a2+a4+…+a2n=n(a2+a2n)2=n(1+4n-3)2=n（2n-1），即bn=n(2n-1)n=2n-1．∴bn+1-bn=2（n+1）-1-2n+1=2．又b2=a21=1，∴{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．

解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“设实数a≠0，函数f（x）=a（x2+1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。