定义在R上的奇函数f，当x＞0时，f(x)=2x4x+1．用定义证明f在上的单调性；求出f在R上的解析式．

题文

定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)=2x4x+1．（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）求出f（x）在R上的解析式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2 则f（x1）-f（x2）=2x14x1+1-2x24x2+1=2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)(4x1+1)(4x2+1)=2x14x2+2x1-2x24x1-2x2(4x1+1)(4x2+1)=2x1+2x2 +2x1-2x2+2x1 -2x2(4x1+1)(4x2+1)=(2x1+x2 -1)(2x2  -2x1)(4x1+1)(4x2+1)∵x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2 ，∴2x1+x2-1＞0，2x2-2x1＞0，4x1+1 ＞0，4x2+1 ＞0∴(2x1+x2 -1)(2x2  -2x1)(4x1+1)(4x2+1)＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．（2）设x＜0，则-x＞0，∴f(-x)=2-x4-x+1=2x4x+1∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-2x4x+1又∵f（0）=0∴f(x)=2x4x+1(x＞0)0(x=0)-2x4x+1(x＜0)

解析

2x14x1+1

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。