设g(x)=px

题文

设g(x)=px-qx-2f(x)，其中f（x）=lnx，且g（e）=qe-pe-2．（e为自然对数的底数）（I）求p与q的关系；（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（Ⅲ）证明：①f（1+x）≤x（x＞-1）；②ln222+ln332+…+lnnn2＜2n2-n-14(n+1)（n∈N，n≥2）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意g(x)=px-qx-2lnx，又g（e）=pe-qe-2，∴pe-qe-2=qe-qe-2，∴(p-q)e+(p-q)1e=0，∴(p-q)(e+1e)=0，而e+1e≠0，∴p=q（II）由（I）知：g(x)=px-px-2lnx，g′(x)=p+px2-2x=px2-2x+px2，令h（x）=px2-2x+p．要使g（x）在（0，+∞）为单调函数，只需h（x）在（0，+∞）满足：h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．①p=0时，h（x）=-2x，∵x＞0，∴h（x）＜0，∴g'（x）=-2xx2＜0，∴g（x）在（0，+∞）单调递减，∴p=0适合题意．②当p＞0时，h（x）=px2-2x+p图象为开口向上抛物线，称轴为x=1p∈（0，+∞）．∴h（x）min=p-1p．只需p-1p≥0，即p≥1时h（x）≥0，g′（x）≥0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，∴p≥1适合题意．③当p＜0时，h（x）=px2-2x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=1p∉（0，+∞），只需h（0）≤0，即p≤0时h（0）≤（0，+∞）恒成立．∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）单调递减，∴p＜0适合题意．综上①②③可得，p≥1或p≤0．（III）证明：①即证：lnx-x+1≤0（x＞0），设k（x）=lnx-x+1，则k'（x）=1x-1=1-xx．当x∈（0，1）时，k′（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；当x∈（1，∞）时，k′（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；∴x=1为k（x）的极大值点，∴k（x）≤k（1）=0．即lnx-x+1≤0，所以lnx≤x-1得证．②由①知lnx≤x-1，又x＞0，∴lnxx≤x-1x=1-1x∵n∈N*，n≥2时，令x=n2，得lnn2n2≤1-1n2．∴lnnn2≤12(1-1n2)，∴ln222+ln332++lnn22≤12(1-122+1-132++1-1n2)=12[(n-1)]-(122+132++1n2)]＜12[(n-1)-(12×3+13×4++1n(n+1))]=12[n-1-(12-13+13-14++1n-1n+1)]=12[n-1-(12-1n+1)]=2n2-n-14(n+1)所以得证．

解析

qx

考点

据考高分专家说，试题“设g(x)=px-qx-2f(x)，其中.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。