对于定义域为D的函数y=f，若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式f(x1)+f(x2)2=M，则称M为函数y=f的“均值”．

题文

对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式f(x1)+f(x2)2=M，则称M为函数y=f （x）的“均值”．（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）=ax2-2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）对任意的x1∈[-1，1]，有-x1∈[-1，1]，当且仅当x2=-x1时，有f(x1)+f(x2)2=x1+x2+1=1，故存在唯一x2∈[-1，1]，满足f(x1)+f(x2)2=1，所以1是函数f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”．（2）当a=0时，f（x）=-2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为-3；当a≠0时，由f（x）=ax2-2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）=ax2-2x（1＜x＜2）单调，故有1a≤1或1a≥2，解得a≥1或a＜0或0＜a≤12，综上，a的取值范围是a≤12或a≥1． （3）①当I=（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为a+b2； ②当I为（-∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”； ③当I=（a，+∞）或（-∞，a）或[a，+∞）或（-∞，a]或[a，b）或（a，b]时，函数f（x）不存在“均值”． ①当且仅当I形如（a，b）、[a，b]其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为a+b2； ②当且仅当I为（-∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”； ③当且仅当I形如（a，+∞）、（-∞，a）、[a，+∞）、（-∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一时，函数f（x）不存在“均值”．

解析

f(x1)+f(x2)2

考点

据考高分专家说，试题“对于定义域为D的函数y=f（x），若有常.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。