题文
对于定义域为D的函数y=f(x),若有常数M,使得对任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D满足等式f(x1)+f(x2)2=M,则称M为函数y=f (x)的“均值”.(1)判断1是否为函数f(x)=2x+1(-1≤x≤1)的“均值”,请说明理由;(2)若函数f(x)=ax2-2x(1<x<2,a为常数)存在“均值”,求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)是单调函数,且其值域为区间I.试探究函数f(x)的“均值”情况(是否存在、个数、大小等)与区间I之间的关系,写出你的结论(不必证明). 题型:未知 难度:其他题型答案
(1)对任意的x1∈[-1,1],有-x1∈[-1,1],当且仅当x2=-x1时,有f(x1)+f(x2)2=x1+x2+1=1,故存在唯一x2∈[-1,1],满足f(x1)+f(x2)2=1,所以1是函数f(x)=2x+1(-1≤x≤1)的“均值”.(2)当a=0时,f(x)=-2x(1<x<2)存在“均值”,且“均值”为-3;当a≠0时,由f(x)=ax2-2x(1<x<2)存在均值,可知对任意的x1,都有唯一的x2与之对应,从而有f(x)=ax2-2x(1<x<2)单调,故有1a≤1或1a≥2,解得a≥1或a<0或0<a≤12,综上,a的取值范围是a≤12或a≥1. (3)①当I=(a,b)或[a,b]时,函数f(x)存在唯一的“均值”.这时函数f(x)的“均值”为a+b2; ②当I为(-∞,+∞)时,函数f(x)存在无数多个“均值”.这时任意实数均为函数f(x)的“均值”; ③当I=(a,+∞)或(-∞,a)或[a,+∞)或(-∞,a]或[a,b)或(a,b]时,函数f(x)不存在“均值”. ①当且仅当I形如(a,b)、[a,b]其中之一时,函数f(x)存在唯一的“均值”.这时函数f(x)的“均值”为a+b2; ②当且仅当I为(-∞,+∞)时,函数f(x)存在无数多个“均值”.这时任意实数均为函数f(x)的“均值”; ③当且仅当I形如(a,+∞)、(-∞,a)、[a,+∞)、(-∞,a]、[a,b)、(a,b]其中之一时,函数f(x)不存在“均值”.解析
f(x1)+f(x2)2考点
据考高分专家说,试题“对于定义域为D的函数y=f(x),若有常.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义:
1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间 3、最值的定义:最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}
判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法:
(1)定义法:其步骤是:①任取x1,x2∈D,且x1<x2; ②作差f(x1)-f(x2)或作商 ,并变形;③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较 与1的大小; ④根据定义作出结论。(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
本文发布于:2023-02-04 22:51:27,感谢您对本站的认可!
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