已知二次函数f=ax2+bx+c和“伪二次函数”g=ax2+bx+clnx．证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g在定义域

题文

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx（abc≠0）．（1）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；（2）在同一函数图象上任意取不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，①对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，求证：k=f′（x0）；②对于“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx，是否有①同样的性质？证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）如果x＞0，g（x）为增函数，则g′（x）=2ax+b+cx=2ax2+bx+cx＞0(i)恒成立．∴2ax2+bx+c＞0（ii）恒成立∵a＜0，由二次函数的性质，（ii）不可能恒成立则函数g（x）不可能总为增函数．（2）①对于二次函数：k=f(x2)-f(x1)x2- x1=a(x22-x12)+b(x2-x1)x2-x1=2ax0+b由f′（x）=2ax+b故f′（x0）=2ax0+b即k=f′（x0）（2）②不妨设x2＞x1，对于伪二次函数g（x）=ax2+bx+clnx=f（x）+clnx-c，k=g(x2)-g(x1)x2-x1=f(x2)-f(x1)+clnx2x1x2-x1如果有①的性质，则g′（x0）=k∴clnx2x1x2-x1=cx0，c≠0即∴lnx2x1x2-x1=2x1+x2，令t=x2x1，t＞1，则lntt-1=2t+1设s（t）=lnt-2t-2t+1，则s′(t)=1t-2(t+1)-2(t-1)(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2＞0∴s（t）在（1，+∞）上递增，∴s（t）＞s（1）=0∴g′（x0）≠k∴“伪二次函数“g（x）=ax2+bx+clnx不具有①的性质．

解析

cx

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。