已知函数f=aln+2，其中，a为实常数且a≠0．求f的单调增区间；若f(x)≥a2对任意x∈恒成立，

题文

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）2，其中，a为实常数且a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若f(x)≥a2对任意x∈（-1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f′(x)=ax+1+2(x+1)=2(x+1)2+ax+1（2分）因为f（x）的定义域为（-1，+∞），所以x+1＞0当a＞0时，f′（x）＞0，此时f（x）的单调增区间为（-1，+∞）（4分）当a＜0时，2（x+1）2＞-a，即x＞-1+-a2时f′（x）＞0，此时f（x）的单增区间为(-1+-a2，+∞)（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在（-1，+∞）单调增，而当x→0时，f（x）→-∞所以此时f（x）无最小值，不合题意（7分）当a＜0时，f（x）在(-1，-1+-a2)上单调减，在(-1+-a2，+∞)上增，所以f(x)≥a2恒成立，即f(-1+-a2)≥a2⇒aln-a2+(-a2)2≥a2（10分）⇒ln-a2≤1，得0＜-a2≤e⇒-2e2≤a＜0.（12分）

解析

ax+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=aln（x+1）+（x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。