已知函数y=f，x∈N*，y∈N*，满足：①对任意a，b∈N*，a≠b，都有af+bf＞af+bf；②对任意n∈N*都有f[f（n

题文

已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，满足：①对任意a，b∈N*，a≠b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②对任意n∈N*都有f[f（n）]=3n．（I）试证明：f（x）为N*上的单调增函数；（II）求f（1）+f（6）+f（28）；（III）令an=f（3n），n∈N*，试证明：.n4n+2≤1a1+1a2+…+1an＜14． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由①知，对任意a，b∈N*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b），所以函数f（x）为N*上的单调增函数．（II）令f（1）=a，则a≥1，显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．从而a＞1，而由f（f（1））=3，即得f（a）=3．又由（I）知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．于是得1＜a＜3，又a∈N*，从而a=2，即f（1）=2．进而由f（a）=3知，f（2）=3．于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，f（6）=f（f（3））=3×3=9，f（9）=f（f（6））=3×6=18，f（18）=f（f（9））=3×9=27，f（27）=f（f（18））=3×18=54，f（54）=f（f（27））=3×27=81，由于54-27=81-54=27，而且由（I）知，函数f（x）为单调增函数，因此f（28）=54+1=55．从而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66．（III）f（an）=f（f（3n））=3×3n=3n+1，an+1=f（3n+1）=f（f（an））=3an，a1=f（3）=6．即数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列．∴an=6×3n-1=2×3n（n=1，2，3）．于是1a1+1a2++1an=12(13+132++13n)=12×13(1-13n)1-13=14(1-13n)，显然14(1-13n)＜14，另一方面3n=（1+2）n=1+Cn1×2+Cn2×22++Cnn×2n≥1+2n，从而14(1-13n)≥14(1-12n+1)=n4n+2．综上所述，n4n+2≤1a1+1a2++1an＜14．

解析

1a1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。