在区间D上，如果函数f为增函数，而函数1xf(x)为减函数，则称函数f为“弱增”函数．已知函数f(x)=1

题文

在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数1xf(x)为减函数，则称函数f（x）为“弱增”函数．已知函数f(x)=1-11+x．（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增”函数；（2）设x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2，证明|f(x2)-f(x1)|＜12|x2-x1|；（3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤11+x≤1-bx恒成立，求实数a，b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）显然f（x）在区间（0，1]为增函数，∵1xf(x)=1x(1-11+x)=1x1+x-11+x=1xx1+x(1+x+1)=11+x+1+x，∴1xf(x)为减函数．∴f（x）在区间（0，1]为“弱增”函数．（2）|f(x2)-f(x1)|=|11+x2-11+x1|=|1+x1-1+x2|1+x21+x1=|x2-x1|1+x21+x1(1+x2+1+x1)，∵x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2，1+x21+x1(1+x2+1+x1)＞2，∴|f（x2）-f（x1）|＜12|x2-x1|．（3）∵当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤11+x≤1-bx恒成立． 当x=0时，不等式显然成立．当x∈（0，1]时．等价于：a≥1xf(x)b≤1xf(x)，由（1）1xf(x)为减函数，1-22≤1xf(x)＜12，∴a≥12，b≤1-22．

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。