已知动点P到点F与到直线y=

题文

已知动点P（x，y）到点F（0，1）与到直线y=-1的距离相等，（1）求点P的轨迹L的方程；（2） 若正方形ABCD的三个顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜0≤x2＜x3）在（1）中的曲线L上，设BC的斜率为k，l=|BC|，求l关于k的函数解析式l=f（k）；（3）求（2）中正方形ABCD面积S的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题设可得动点P的轨迹方程为x2=4y．（4分）（2）由（1），可设直线BC的方程为：y=k(x-x2)+x224（k＞0），y=k(x-x2)+x224x2=4y，易知x2、x3为该方程的两个根，故有x2+x3=4k，得x3=4k-x2，从而得|BC|=1+k2(x3-x2)=21+k2(2k-x2)（6分）类似地，可设直线AB的方程为：y=-1k(x-x2)+x224，从而得|AB|=21+k2k2(2+kx2)，（8分）由|AB|=|BC|，得k2•（2k-x2）=（2+kx2），解得x2=2(k3-1)k2+k，l=f(k)=41+k2(k2+1)k(k+1)（k＞0）．（10分）（3）因为l=f(k)=41+k2(k2+1)k(k+1)≥4•(1+k)22•2kk(k+1)=42，（12分）所以S=l2≥32，即S的最小值为32，当且仅当k=1时取得最小值．（14分）

解析

x224

考点

据考高分专家说，试题“已知动点P（x，y）到点F（0，1）与到.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。