已知函数f的定义域是，当x＞1时，f＞0，且f=f+f求f；证明f在定义域上是增函数；（3

题文

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（x•y）=f（x）+f（y）（1）求f（1）；（3）证明f（x）在定义域上是增函数；（3）如果f(13)=-1，求满足不等式f(x)-f(1x-2)≥2的x的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x•y）=f（x）+f（y），∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0．（2）设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则x2x1＞1，∴f（ x2x1 ）＞0，∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x2x1•x1）=f（x1）-f（x2x1 ）-f（x1）=-f（ x2x1 ）＜0∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3）令x=13，y=1得，f（13×1）=f（13）+f（1），∴f（1）=0．令x=3，y=13得，f（1）=f（3×13）=f（3）+f（13），∵f(13)=-1，∴f（3）=1．令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2，∴f（x）-f（1x-2）≥f（9），f（x）≥f（9x-2）∴x≥9x-2x＞01x-2＞0，解得x≥1+10．

解析

x2x1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。