已知函数f的定义域是,当x>1时,f>0,且f=f+f求f;证明f在定义域上是增函数;(3

更新时间:2023-02-04 22:48:13 阅读: 评论:0

题文

已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且f(x•y)=f(x)+f(y)(1)求f(1);(3)证明f(x)在定义域上是增函数;(3)如果f(13)=-1,求满足不等式f(x)-f(1x-2)≥2的x的范围. 题型:未知 难度:其他题型

答案

(1)∵f(x•y)=f(x)+f(y),∴f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),∴f(1)=0.(2)设x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则x2x1>1,∴f( x2x1 )>0,∴f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2x1•x1)=f(x1)-f(x2x1 )-f(x1)=-f( x2x1 )<0∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(3)令x=13,y=1得,f(13×1)=f(13)+f(1),∴f(1)=0.令x=3,y=13得,f(1)=f(3×13)=f(3)+f(13),∵f(13)=-1,∴f(3)=1.令x=y=3得,f(9)=f(3)+f(3)=2,∴f(x)-f(1x-2)≥f(9),f(x)≥f(9x-2)∴x≥9x-2x>01x-2>0,解得x≥1+10.

解析

x2x1

考点

据考高分专家说,试题“已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义:

1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间  3、最值的定义:最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法:

(1)定义法:其步骤是:①任取x1,x2∈D,且x1<x2; ②作差f(x1)-f(x2)或作商 ,并变形;③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较 与1的大小; ④根据定义作出结论。(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

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