设函数y=f的定义域为全体R，当x＜0时，f＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f=ff成立，数列{an}满足a1=f，且

题文

设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=1f(-2-an)（n∈N*）（1）求证：y=f（x）是R上的减函数．（2）求证：{an}是等差数列，并求通项an．（3）若不等式(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)≥k2n+1对一切n∈N*均成立，求k的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），由题意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a1=f（0）=1．当x＞0时，-x＜0，f（0）=f（-x）•f（x）=1，进而得0＜f（x）＜1．设x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，0＜f（x2-x1）＜1，f（x2）-f（x1）=f（x1+（x2-x1））-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]＜0．即f（x2）＜f（x1），所以y=f（x）是R上的减函数． （2）由f(an+1)=1f(-2-an)得f（an+1）f（-2-an）=1，所以f（an+1-an-2）=f（0）．因为y=f（x）是R上的减函数，所以an+1-an-2=0，即an+1-an=2，所以{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．所以an=1+（n-1）×2=2n-1． （3）由(1+1a1)(1+1a2)(1+1an)≥k2n+1对一切n∈N*均成立．知k≤(1+1a1)(1+1a2)(1+1an)2n+1对一切n∈N*均成立．设F(n)=(1+1a1)(1+1a2)(1+1an)2n+1，知F（n）＞0且F(n+1)=(1+1a1)(1+1a2)(1+1an)(1+1an+1)2n+3，又F(n+1)F(n)=2(n+1)2n+12n+3=2(n+1)4(n+1)2-1＞1．故F（n）为关于n的单调增函数，F(n)≥F(1)=233．所以k≤233，k的最大值为233

解析

1f(-2-an)

考点

据考高分专家说，试题“设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。