已知函数f=x2+ax

题文

已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）-x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存 在，求出a的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′(x)=2x+a-1x=2x2+ax-1x≤0在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax-1，有h(1)≤0h(2)≤0得a≤-1a≤-72，得a≤-72（6分）（2）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′(x)=a-1x=ax-1x（7分）当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，a=4e（舍去），∴g（x）无最小值．当0＜1a＜e时，g（x）在(0，1a)上单调递减，在(1a，e]上单调递增∴g(x)min=g(1a)=1+lna=3，a=e2，满足条件．（11分）当1a≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，a=4e（舍去），∴f（x）无最小值．（13分）综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时f（x）有最小值3．（14分）

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。