已知函数g(x)=1sinθ•x+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈，f(x)=mx

题文

已知函数g(x)=1sinθ•x+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f(x)=mx-m-1x-lnx，m∈R．（1）求θ的值；（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；（3）设h(x)=2ex，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）-g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，g′(x)=-1sinθ•x2+1x≥0在[1，+∞）上恒成立，即sinθ•x-1sinθ•x2≥0．∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ•1-1≥0，即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得θ=π2．（2）由（1），得f（x）-g（x）=mx-mx-2lnx．∴(f(x)-g(x))′=mx2-2x+mx2．∵f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，∴mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx2-2x+m≥0等价于m（1+x2）≥2x，即m≥2x1+x2，而2xx2+1=2x+1x，（2x+1x）max=1，∴m≥1．mx2-2x+m≤0等价于m（1+x2）≤2x，即m≤2x1+x2在[1，+∞）恒成立，而2xx2+1∈（0，1]，m≤0．综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．（3）构造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F(x)=mx-mx-2lnx-2ex．当m≤0时，x∈[1，e]，mx-mx≤0，-2lnx-2ex＜0，所以在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）-g（x0）＞h（x0）成立．当m＞0时，(F(x))′=m+mx2-2x+2ex2=mx2-2x+m+2ex2．因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx2+m＞0，所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．故F（x）在[1，e]上单调递增，F(x)max=F(e)=me-me-4，只要me-me-4＞0，解得m＞4ee2-1．故m的取值范围是(4ee2-1，+∞)．

解析

1sinθ•x2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数g(x)=1sinθ•x+lnx.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。