已知二次函数y=f的图象经过原点，且f=f+x

题文

已知二次函数y=f（x）的图象经过原点，且f（x-1）=f（x）+x-1．（1）求f（x）的表达式．（2）设F（x）=4f（ax）+3a2x-1（a＞0且a≠1），当x∈[-1，1]时，F（x）有最大值14，试求a的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）图象经过原点，∴设f（x）=ax2+bx（a≠0），∵f（x-1）=f（x）+x-1，∴a（x-1）2+b（x-1）=ax2+bx+x-1，即ax2-（2a-b）x+a-b=ax2+（b+1）x-1，∴-(2a-b)=b+1a-b=-1，解得a=-12，b=12．∴f(x)=-12x2+12x．（2）由F（x）=4f（ax）+3a2x-1（a＞0且a≠1），得F（x）=a2x+2ax-1，①当a＞1时，令t=ax，∵x∈[-1，1]，∴t∈[1a，a]，∴g（t）=t2+2t-1=（t+1）2-2，t∈[1a，a]，∵对称轴t=-1，∴g（t）在[1a，a]上是增函数．∴g（a）=a2+2a-1=14，∴a2+2a-15=0，解得a=3，a=-5（舍）；②当0＜a＜1时，令u=ax，∵x∈[-1，1]，∴u∈[a，1a]，∴g（u）=u2+2u-1=（u+1）2-2，u∈[a，1a]，∵对称轴u=-1，∴g（u）在[a，1a]上是增函数．∴g(1a)=(1a)2+2a-1=14，∴1a=3，1a=-5（舍），∴a=13，综上a=13或a=3．

解析

-(2a-b)=b+1a-b=-1

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数y=f（x）的图象经过原点，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。