设函数f(x)=ax

题文

设函数f(x)=ax-1x+1；其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由ax-1x+1≤1，化为(a-1)x-2x+1≤0．（1分）当a=1时，不等式化为-2x+1≤0，解集为{x|x＞-1}．（3分）当a＞1时，有2a-1＞-1，解集为{x|-1＜x≤2a-1}．（5分）当a=-1时，不等式化为 -2(x+1)x+1≤ 0，解集为{x|x∈R，x≠-1}．（8分）当a＜-1时，有2a-1＞-1，a-1＜0，不等式(a-1)x-2x+1≤0的解集为{x|x＜-1，或 x＞2a-1}．（10分）（Ⅱ）任取 0＜x1＜x2，且 则f(x2)-f(x1)=ax2-1x2+1-ax1-1x1-1（11分）=(a+1)(x2-x1)(x2+1)(x1+1)．（12分） 因x2＞x1故x2-x1＞0，又在（0，+∞）上有 x2+1＞0，x1+1＞0，∴只有当a+1＜0时，即a＜-1时．才总有f（x2）-f（x1）＜0．∴当a＜-1时，f（x）在（0，+∞）上是单调减函数．（14分）

解析

ax-1x+1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=ax-1x+1；其中a∈.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。