某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中综合污染指数f与时间x的关系为f=

题文

某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为f（x）=|12sinπ32x+13-a|+2a，x∈[0，24]，其中a为与气象有关的参数，且a∈[13，34]．若将每天中f（x）的最大值作为当天的综合污染指数，并记作M（a）．（Ⅰ）令t=12sinπ32x，x∈[0，24]，求t的取值范围；（Ⅱ）求函数M（a）的解析式；（Ⅲ）为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是否超标？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为x∈[0，24]，所以πx32∈[0，3π4]，所以sin(πx32)∈[0，1]，故t∈[0，12]．（Ⅱ）因为a∈[13，34]，所以0≤a-13≤512＜12，所以f(t)=|t-(a-13)|+2a=-t+3a-13，t∈[0，a-13]t+a+13，t∈[a-13，12]．当t∈[0，a-13]时，f(t)max=f(0)=3a-13；当t∈[a-13，12]，f(t)max=f(12)=56+a．而f(0)-f(12)=2a-76，当13≤a≤712，f(0)≤f(12)，M(a)=f(12)=56+a；当712＜a≤34，f(0)＞f(12)，M(a)=f(0)=3a-13．所以M(a)=56+a，a∈[13，712]3a-13，a∈(712，34]，（Ⅲ）由（Ⅱ）知M（a）的最大值为2312，它小于2，所以目前市中心的综合污染指数没有超标．

解析

πx32

考点

据考高分专家说，试题“某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。