某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验中，先测得摆线长为97.20cm；用20分度的游标卡尺测小球直径如图4所示，然后用秒表记录了单摆全振动50次所用的时间为1

题文

某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验中，先测得摆线长为97.20cm；用20分度的游标卡尺测小球直径如图4所示，然后用秒表记录了单摆全振动50次所用的时间为100.0s．则（1）记录时间应从摆球经过_______________开始计时，小球直径为___________cm， 测得重力加速度g值为             m/s2（保留小数点后两位有效数字）（2）如果他在实验中误将49次全振动数为50次，测得的g值         (填“偏大”或“偏小”或“准确”）（3）如果该同学在测摆长时忘记了加摆球的半径，则测量结果         (填“偏大”或“偏小”或“准确”）；但是他以摆长（l）为纵坐标、周期的二次方（T2）为横坐标作出了l－T2图线，由图象测得的图线的斜率为k，则测得的重力加速度g=         。（用字母表示即可）。此时他用图线法求得的重力加速度       。（选填“偏大”，“偏小”或“准确”）

题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)平衡位置  2.880     9.73  .  （2）偏大 （3）偏小   4π2k  准确

解析

分析：单摆在摆角比较小时，单摆的运动才可以看成简谐运动．摆球经过平衡位置时速度最大，此时计时，误差比较小．根据单摆的公式T= ，推导出g的表达式．再根据g的表达式分析误差形成的原因．解答：解：（1）单摆摆球经过平衡位置的速度最大，最大位移处速度为0，在平衡位置计时误差最小；由图可知，小球的直径D=29mm+0.05mm×18=29.90mm=2.990cm；单摆的摆长为L+D/2，单摆的周期T=t/n，根据单摆的公式T=，所以g=(4π2(L+D/2)n2=(4×3.142×(97.20+2.990/2)×10-2×502)/1002m/s2=9.73m/s2．（2）试验中将49次全振动数为50次，会导致测得周期偏小，根据g=4π2L/T2，知测得重力加速度偏大．（3）如果测摆长时忘记了加摆球的半径，会导致测得摆长偏小，根据g=4π2L/T2，知测得重力加速度偏小．图线的斜率为k=L/ T2，由公式g=4π2L/T2可知，g=4π2k．作l-T2图象，求重力加速度误差最小，因为描点后画线时要求尽可能多的点在该直线上，其余点尽可能均衡地分布在该直线两侧；故答案为：（1）平衡位置，2.990，9.73；（2）偏大；（3）偏小，4π2k，准确．点评：解决本题的关键掌握单摆的周期公式T=，以及知道测量时形成误差的原因．

考点

据考高分专家说，试题“某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验中.....”主要考查你对 [单摆的周期 ]考点的理解。

单摆的周期

单摆：1.定义：用一根不可伸长且没有质量的细线悬挂一质点所组成的装置，叫做单摆，它是实际摆的理想化模型2.模型条件：(1)摆线的形变量与摆线长度相比小得多，摆线的质量与摆球质量相比小得多，这时可把摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线。 (2)摆球的大小与摆线长度相比小得多，这时可把摆球看成是没有大小只有质量的质点。 (3)忽略空气对它的阻力。某一物理量是否可以略去不计，是相对而言的。为了满足上述条件及尽量减小空气阻力对它的影响，我们组成单摆的摆球应选择质量大而体积小的球，摆线应尽量选择细而轻目弹性小的线3.平衡位置：摆球静止时所处的位置即最低点4.简谐运动条件：5.单摆的周期公式：（可由，推导）。 ①在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关； ②单摆的振动周期跟摆球的质量无关，只与摆长L和当地的重力加速度g有关； ③摆长L是指悬点到摆球重心间的距离，在某些变形单摆中，摆长L应理解为等效摆长，重力加速度应理解为等效重力加速度（一般情况下，等效重力加速度g'等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力与摆球质量的比值）。

单摆问题中的等效处理方法：

单摆的周期公式5.单摆的周期公式：（可由，推导）。 ①在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关； ②单摆的振动周期跟摆球的质量无关，只与摆长L和当地的重力加速度g有关； ③摆长L是指悬点到摆球重心间的距离，在某些变形单摆中，摆长L应理解为等效摆长，重力加速度应理解为等效重力加速度（一般情况下，等效重力加速度g'等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力与摆球质量的比值）。

单摆问题中的等效处理方法：

单摆的周期公式是惠更斯从实验中总结出来的。单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度 ()越大。由于摆球的轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力。在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9．8m／s2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。 1．等效摆长摆长是指摆动圆弧的圆心到撰球重心的距离，而不一定为摆绳的长。如图中，摆球可视为质点，各段绳长均为Z，甲、乙摆球做垂直纸面的小角度摆动，丙摆球在纸面内做小角度摆动，O'为垂直纸面的钉子，而且)越大。由于摆球的轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力。在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9．8m／s2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。 1．等效摆长摆长是指摆动圆弧的圆心到撰球重心的距离，而不一定为摆绳的长。如图中，摆球可视为质点，各段绳长均为Z，甲、乙摆球做垂直纸面的小角度摆动，丙摆球在纸面内做小角度摆动，O'为垂直纸面的钉子，而且甲：等效摆长乙：等效摆长乙：等效摆长丙：摆绳摆到竖直位置时，圆弧圆心就由O变为O'，摆球振动时，半个周期摆长为l，另半个周期摆长为，则单摆丙的周期为 2．等效重力加速度不一定等于9．8，则单摆丙的周期为 2．等效重力加速度不一定等于9．8(1)g由单摆所在的空间位置决定。g随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，纬度越低，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上管也不同。 (2)g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a，则摆球处于超重状态，沿圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值若升降机加速下降，则单摆若在沿轨道运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值，摆球不摆动，周期无穷大。 (3)一般情况下，若升降机加速下降，则单摆若在沿轨道运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值，摆球不摆动，周期无穷大。 (3)一般情况下，值等于摆球相对于加速系统静止在平衡位置时(平衡位置是指回复力为零的位置，而不是合力为零的位置，也可以说成是让摆球不摆时的位置)重力加速度的等效值，等于摆绳所受的张力与摆球质量的比值即但需注意如果在不引起回复力变化的情况，上述方法并不适用，如摆球带电，再在悬点处固定一带电小球，两球之间的静电力不引起回复力的变化，单摆振动周期并不变。