如图，在半径为30cm的半圆形铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．怎样截取才能使截得的矩形ABCD的

题文

如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：如图所示，（1）【方法一】连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2（其中0＜x＜30），∴S=2x=2≤x2+（900﹣x2）=900，当且仅当x2=900﹣x2，即x=15时，S取最大值900；所以，取BC=cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2．【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的 面积为S，则BC=30sinθ，OB=30cosθ（其中0＜θ＜）；∴S=AB●BC=2OB●BC=900sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=时，S取最大值为900，此时BC=15；所以，取BC=15时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2．（2）【方法一】设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V，由AB=2=2πr，得r=，∴V=πr2h=（900x﹣x3），（其中0＜x＜30）；由V′=（900﹣3x2）=0，得x=10；因此V=（900x﹣x3）在上是增函数，在（10，30）上是减函数；∴当x=10时，V的最大值为，即取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3．【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，圆柱底面半径为r，高为h，体积为V，则圆柱的底面半径为r=，高h=30sinθ，（其中0＜θ＜），所以V=πr2h=cos2θ=（sinθ﹣sin3θ），设t=sinθ，则V=（t﹣t3），由V′=（1﹣3t2）=0，得t=，因此V=（t﹣t3）在（0，）上是增函数，在（，1）上是减函数；所以，当t=时，即sinθ=，此时BC=10cm时，V有最大值，为cm3．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“如图，在半径为30cm的半圆形（O.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。