已知函数是奇函数，且满足f=f，求实数a、b的值； 试证明函数f在区间(0，2]单调递减，在区间单调递

题文

已知函数（x≠0）是奇函数，且满足f（1）=f（4），（Ⅰ）求实数a、b的值； （Ⅱ）试证明函数f（x）在区间(0，2]单调递减，在区间（2，+∞）单调递增；（Ⅲ）是否存在实数k同时满足以下两个条件：①不等式f（x）+＜0对x∈（0，+∞）恒成立；②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解；若存在，试求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）由，解得b=4， 由（x≠0）是奇函数，得恒成立，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，任取，，，∴，∴，所以，函数f（x）在区间(0，2]单调递减；类似地，可证f（x）在区间（2，+∞）单调递增。（Ⅲ）对于条件①：由（Ⅱ）可知函数f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值，故若对x∈（0，+∞）恒成立，则需，∴；对于条件②：由（Ⅱ）可知函数f（x）在（-∞，-2）单调递增，在[-2，0)单调递减， ∴函数f（x）在[-6，-2]单调递增，在[-2，-1]单调递减，又，，所以函数f（x）在[-6，-1]上的值域为，若方程f（x）=k在[-6，-1]有解，则需，若同时满足条件①②，则需；答：当时，条件①②同时满足．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数（x≠0）是奇函数，且满足.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。