已知函数f(x)的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1(x)=min{f(t)

题文

已知函数f(x)的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值。若存在最小正整数k，使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，6]上的“k阶收缩函数”。 (Ⅰ)若f(x)=cosx，x∈[0，π]，试写出f1(x)，f2(x)的表达式；(Ⅱ)已知函数f(x)=x2，x∈[-1，4]，试判断f(x)是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；(Ⅲ)已知b＞0，函数f(x)=-x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)由题意可得：f1(x)=cosx，x∈[0，π]，f2(x)=1，x∈[0，π]。 (Ⅱ)，，，当x∈[-1，0]时，1-x2≤k（x +1)，∴k≥1-x，k＞2；当 x∈(0，1)时，1＜k(x+1)，∴ ，∴；当x∈[1，4]时，x2≤k(x+1) ∴k，∴，综上所述，∴，即存在k=4，使得f(x)是[-1，4]的4阶收缩函数。(Ⅲ)f′(x)=-3x2+6x=-3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2，函数f(x)的变化情如下： 令f(x)=0，解得x=0或3，ⅰ)b≤2时，f(x)在[0，b]上单调递增，因此，f2(x)=f(x)=-x3+3x2，f1(x)=f(0)=0， 因为f(x)=-x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，所以，①f2(x)-f1(x)≤2(x-0)对x∈[0，b]恒成立； ②存在x∈[0，b]，使得f2(x)-f1(x)＞（x-0）成立，①即：-x3+3x2≤2x对x∈[0，b]恒成立，由-x3+3x2≤2x，解得：0≤x≤1或x≥2，要使-x3+3x2≤2x对x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1；②即：存在x∈[0，b]，使得x（x2-3x+1）＜0成立，由x(x2-3x+1)＜0得x＜0或， 所以，需且只需， 综合①②可得； ⅱ)2＜b≤3时，f(x)在[0，2]上单调递增，在[2，b]上单调递减，因此，f2(x)=f(2)=4，f1(x)=f(0)=0，f2(x)-f1(x)=4，x-0=x，显然当x=0时，f2(x)-f1(x)≤2(x- 0)不成立；ⅲ)当b＞3时，f(x)在[0，2]上单调递增，在[2，b]上单调递减，因此，f2(x)=f（2)=4，f1(x)=f(b)＜0， f2(x)-f1(x)=4-f(b)＞4，x-0=x，显然当x=0时，f2(x)-f1(x)≤2(x-0)不成立；综合ⅰ)ⅱ)ⅲ)可得。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)的图象在[a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。