已知定义域为R的函数是奇函数。 求a、b的值；判断并证明f(x)的单调性；若对任意的x∈R，不等式f(x2

题文

已知定义域为R的函数是奇函数。 （1）求a、b的值；（2）判断并证明f(x)的单调性；（3）若对任意的x∈R，不等式f(x2-x)+f(2x2-t)＜0恒成立，求t的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵f(x)是奇函数且0∈R，∴f(0)=0，即，∴b=1，∴， 又由f(1)=-f(-1)知，，∴a=2，∴。 （2）f(x)在(-∞，+∞)上为减函数，证明如下：设x1，x2∈(-∞，+∞)且x1＜x2，则，∵y=2x在(-∞，+∞)上为增函数且x1＜x2，∴且y=2x＞0恒成立，∴， ∴f(x1)-f(x2)＞0， ∴f(x)在(-∞，+∞)上为减函数。（3）∵f(x)是奇函数，∴f(x2-x)+f(2x2-t)＜0等价于f(x2-x)＜-f(2x2-t)=f(-2x2+t)，又∵f(x)是减函数，∴x2-x＞-2x2+t，即一切x∈R，3x2-x-t＞0恒成立，∴判别式△=1+12t＜0，即t＜。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知定义域为R的函数是奇函数。 （.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。