已知函数f=x+1x判断f的奇偶性．判断f在[1，+∞）内单调性并用定义证明；求f在区间[

题文

已知函数f（x）=x+1x（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性．（Ⅱ）判断f（x）在[1，+∞）内单调性并用定义证明；（Ⅲ）求f（x）在区间[-3，-1]上的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意可知x≠0，∵f(-x)=-x+1-x=-(x+1x)=-f(x)∴f（x）是奇函数（3分）（II）f（x）在[1，+∞）内是增函数．（5分）证明：设x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2-1x2=(x1-x2)+x2-x1x1x2=(x1-x2)(x1x2-1)x1x2∵x1-x2＜0，x1x2＞1∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）故f（x）在[1，+∞）内是增函数．（9分）（III）由（1）知f（x）是奇函数，由（2）知f（x）在[1，+∞）内是增函数．∴f（x）在[-3，-1]上是增函数∴当x=-3时，f（x）有最小值为-103（12分）

解析

1-x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x+1x（Ⅰ）判断f（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。