已知定义域为R的函数，f中，f=1且当n

题文

已知定义域为R（实数集）的函数，f（x）中，f（0）=1且当n-1≤x＜n（n∈Z）时，f（x）=（x-n）•f（n-1）+f（n）（Ⅰ）求f（2）的值及当x∈[3，4）时，f（x）的表达式；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；（Ⅲ）“定义：设g（x）为定义在D上的函数，若存在正数M，对任意x∈D都有|g（x）|≤M，则称函数g（x）为D上有界函数；否则，称函数g（x）为D上无界函数．”试证明f（x）为R上无界函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意得f（0）=（0-1）f（0）+f（1），∵f（0）=1∴f（1）=2同理得：∴f（2）=4（2分）又对任意n∈Z，f（n）=（n-n-1）f（n）+f（n+1）即 2f（n）=f（n+1）（4分）当n∈N+时，f（n）=2f（n-1）=22f（n-2）=…=2nf（0）=2n当n∈N-时，f（0）=2f（-1）=22f（-2）=…=2-nf（n），即 f（n）=2n．  （7分）综上可得：f（n）=2n（n∈Z）当x∈[3，4）时，f（x）=f（3）（x-4）+f（4）=8x-16（8分）（Ⅱ）f（x）是定义域上的增函数．任意取两个实数x1，x2，设x1＜x2①若n-1≤x1＜x2＜n，则f（x1）-f（x2）=f（n-1）（x1-n）+f（n）-f（n-1）（x2-n）-f（n）=f（n-1）（x1-x2）=2n-1（x1-x2）＜0（12分）②若n1-1则x1＜n1n-1＜x2＜n，依①可得 f（x2）…f（n-1）事实上 f（n-1）=2n-1，f(n1)=2n1，∵n1，n-1∴f（n1），f（n-1）∴f（x2）≥f（n1）f(x1)=f(n1-1)(x1-n1)+f(n1)=2n1-1(x1-n1)+f(n1)＜f(n1)≤f(x2)综上所述：f（x1）＜f（x2）（16分）所以，f（x）是定义域上的增函数．（Ⅲ）对任意M＞0，取M0＞M，且log2M0∈Z，记x0=log2M0则：f(x0)=f(log2M0)=2log2M0=M0＞M所以 f（x）为R上无界函数．  （20分）

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知定义域为R（实数集）的函数，f（x）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。