已知函数f满足定义域在上的函数，对于任意的x，y∈，都有f=f+f，当且仅当x＞1时，f＜0成立，

题文

已知函数f（x）满足定义域在（0，+∞）上的函数，对于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立，（1）设x，y∈（0，+∞），求证f(yx)=f(y)-f(x)；（2）设x1，x2∈（0，+∞），若f（x1）＜f（x2），试比较x1与x2的大小；（3）解关于x的不等式f（x2-2x+1）＞0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵f（xy）=f（x）+f（y），∴f(yx)+f(x)=f(y)，∴f(yx)=f(y)-f(x)；（2）∵f（x1）＜f（x2），∴f（x1）-f（x2）＜0，又f(x1x2)=f(x1)-f(x2)，所以f(x1x2)＜0∵当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立，∴当f（x）＜0时，x＞1，∴x1x2＞1，x1＞x2（3）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，∴f（x2-2x+1）＞0⇔f（x2-2x+1）＞f（1），由（2）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数，∴0＜x2-2x+1＜1，解得0＜x＜2且x≠1，∴不等式解集为（0，1）∪（1，2）

解析

yx

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）满足定义域在（0，+∞）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。