已知f的定义域为，当x＞1时，f＞0，且对于任意实数x，y满足f=f+f，f=1．试判断函数f的单

题文

已知f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于任意实数x，y满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）试判断函数f（x）的单调性，并证明；（2）试解不等式f（x）+f（x-2）＜3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得 f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0．令y=1x，可得 f（1）=0=f（x）+f（1x），∴f（1x）=-f（x）．设 x2＞x1＞0，则 x2x1＞1，∴f（x2x1）=f（x2）+f（1x1）=f（x2）-f（x1）＞0，即 f（x2）＞f（x1），函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．（2）不等式f（x）+f（x-2）＜3 即 f[x（x-2）]＜3．由于 f（4）=f（2）+f（2）=2，f（8）=f（4）+f（2）=3，故不等式即 f[x（x-2）]＜f（8）．由x＞0x-2＞0x(x-2)＜8 解得 2＜x＜4，故不等式的解集为 （2，4）．

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）的定义域为（0，+∞），当x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。