已知函数f=lnx，g=12ax2+bx，a≠0．若b=2，且h=f

题文

已知函数f（x）=lnx，g（x）=12ax2+bx，a≠0．（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）b=2时，h（x）=lnx-12ax2-2x，则h′（x）=1x-ax-2=-ax2+2x-1x．因为函数h（x）存在单调递减区间，所以h'（x）＜0有解．又因为x＞0时，则ax2+2x-1＞0有x＞0的解．①当a＞0时，y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线，ax2+2x-1＞0总有x＞0的解；②当a＜0时，y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线，而ax2+2x-1＞0总有x＞0的解；则△=4+4a＞0，且方程ax2+2x-1=0至少有一正根．此时，-1＜a＜0．综上所述，a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）．（II）设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2．则点M、N的横坐标为x=x1+x22，C1在点M处的切线斜率为k1=1x，x=x1+x22，k1=2x1+x2，C2在点N处的切线斜率为k2=ax+b，x=x1+x22，k2=a(x1+x2)2+b．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．即2x1+x2=a(x1+x2)2+b，则2(x2-x1)x1+x2=a2（x22-x12）+b（x2-x1）=a2（x22+bx2）-（a2x12+bx1）=y2-y1=lnx2-lnx1．所以lnx2x1=2(x2x1-1)1+x2x1．设t=x2x1，则lnt=2(t-1)1+t，t=1①令r（t）=lnt-2(t-1)1+t，t＞1．则r′t=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2．因为t＞1时，r'（t）＞0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递增．故r（t）＞r（1）=0．则lnt＞2(t-1)1+t．这与①矛盾，假设不成立．故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx，g（x）=12.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间  3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。